Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} 2\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 2l(tfrac45r)^n-1
é convergente ou divergente. Esse conteúdo é sobre séries geométricas, e vamos usar o critério de convergência de séries geométricas, que diz que uma série sumn=1^infty a,r^n-1 converge se lvert rrvert<1 e diverge caso contrário.

Passo 2

Reconhecemos que nossa soma está na forma de uma série geométrica com termo inicial
a=2
e razão
r=tfrac45.

Passo 3

Verificamos a razão:
lvert rrvert ;=;llverttfrac45rrvert ;=;tfrac45 ;=;0,8 ;<;1
Como lvert rrvert<1, a série converge.

Passo 4

Para calcular a soma de uma série geométrica convergente usamos a fórmula
S ;=;a1 - r
Substituindo a=2 e r=tfrac45, temos
S = 21 - tfrac45 = 2tfrac15 = 10

Resposta

A série é convergente e sua soma é 10.

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