Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
O conteúdo aqui é estudo de séries numéricas, e vamos usar o Teste da Razão para factorial versus exponencial.
Passo 2
Seja
O Teste da Razão diz que a série converge se
diverge se
L>1 e é inconclusivo se
L=1 .
Passo 3
Calculando a razão entre termos consecutivos:
Passo 4
Agora tomamos o limite:
Como
L>1 , o Teste da Razão garante que a série diverge.
Resposta
A série diverge.