Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty n!5^n
O conteúdo aqui é estudo de séries numéricas, e vamos usar o Teste da Razão para factorial versus exponencial.

Passo 2

Seja
an = n!5^n
O Teste da Razão diz que a série converge se
L = limntoinfty |an+1an| < 1,
diverge se L>1 e é inconclusivo se L=1.

Passo 3

Calculando a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)!5^,n+1;g/;n!5^n = (n+1)!5^,n+1cdot5^nn! = n+15

Passo 4

Agora tomamos o limite:
L = limntoinftyn+15 = +infty
Como L>1, o Teste da Razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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