Seja an=(1+13 n)^n.
(a) Determine se (an) é convergente.
(b) Determine se sumn=1^infty an é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência an = l(1 + tfrac13nr)^n e depois a série sumn=1^infty an. Vamos usar o resultado clássico de que limntoinftyl(1+tfracxnr)^n = e^x.

Passo 2

Vamos calcular Para isso escrevemos

Passo 3

an = l(1 + tfrac13nr)^n = l[l(1 + tfrac13nr)^3nr]^1/3

Passo 4

Como limntoinftyl(1 + tfrac13nr)^3n = e^1 = e, segue que

Passo 5

Passo 6

Logo, an converge e seu limite é e^1/3, que é um número maior que zero.

Passo 7

Para a série sum an, aplicamos o critério do termo geral: se limntoinfty an neq 0, a soma diverge. Aqui temos limntoinfty an = e^1/3 neq 0, portanto a série diverge.

Resposta

(a) A sequência (an) converge e limntoinfty an = e^1/3 (b) A série sumn=1^infty an diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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