Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2 \ln (n)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 11+2ln(n)
é convergente ou divergente.
Trata-se de uma série de termos positivos, e vamos usar um teste de comparação assintótico com uma série p-série.

Passo 2

Para aplicar o teste de comparação, observamos que, para n suficientemente grande (por exemplo n>=3), vale
ln(n)<raizn
Isso ocorre porque funções do tipo n^varepsilon crescem mais rápido que ln(n) para todo varepsilon>0.

Passo 3

Da desigualdade ln(n)<raizn segue
1+2ln(n)<1+2raizn<=3raizn,
portanto
11+2ln(n)>13raizn
Sabemos que a série
sumn=1^infty1raizn
é uma p-série com p=tfrac12<1, logo diverge. Pelo teste de comparação, como
11+2ln(n)>=13raizn e a série à direita diverge, a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 11+2ln(n) é divergente.

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