Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2 \ln (n)}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2 \ln (n)}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente.
Trata-se de uma série de termos positivos, e vamos usar um teste de comparação assintótico com uma série -série.
Trata-se de uma série de termos positivos, e vamos usar um teste de comparação assintótico com uma série
Passo 2
Para aplicar o teste de comparação, observamos que, para
suficientemente grande (por exemplo
), vale
Isso ocorre porque funções do tipo
crescem mais rápido que
para todo
.
Passo 3
Da desigualdade
segue
portanto
Sabemos que a série
é uma
-série com
, logo diverge. Pelo teste de comparação, como
e a série à direita diverge, a série original também diverge.
Resposta
A série
é divergente.