Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, em particular podemos usar o teste da razão ou reconhecer a série como parte da expansão de
.
Passo 2
Definimos o termo geral
e aplicamos o teste da razão, calculando
Passo 3
Tomamos o limite da razão quando
:
Como
, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.
Passo 4
Alternativamente, reconhecemos que
logo, retirando o termo
, a soma pedida é
, mas o que importa para a questão é que ela converge.
Resposta
A série converge (de modo absoluto).