Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty 2^nn!
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, em particular podemos usar o teste da razão ou reconhecer a série como parte da expansão de e^x.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = 2^nn!
e aplicamos o teste da razão, calculando
an+1an = 2^n+1(n+1)!2^nn! = 2^n+1(n+1)!,cdotn!2^n = 2n+1

Passo 3

Tomamos o limite da razão quando ntoinfty:
L = limntoinfty 2n+1 = 0
Como L<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 4

Alternativamente, reconhecemos que
sumn=0^infty 2^nn! = e^2,
logo, retirando o termo n=0, a soma pedida é e^2-1, mas o que importa para a questão é que ela converge.

Resposta

A série converge (de modo absoluto).

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