Questão 7
(2 x-1)(x^2-4) <= 0

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver a inequação
(2x-1),(x^2-4)<= 0
O conteúdo envolvido é inequação polinomial do tipo produto de fatores; vamos fatorar, achar os zeros e estudar o sinal de cada fator.

Passo 2

Note que
x^2-4 = (x-2)(x+2),
logo a inequação vira
(2x-1),(x-2),(x+2)<= 0

Passo 3

Determinamos os zeros de cada fator:
2x-1=0implies x=tfrac12, x-2=0implies x=2, x+2=0implies x=-2
Os pontos críticos, em ordem, são -2, tfrac12, 2.

Passo 4

Escolhemos um valor em cada intervalo e verificamos o sinal do produto:
  • Para x<-2 (por exemplo x=-3):
    2x-1<0,;x-2<0,;x+2<0 Rightarrow três sinais negativos Rightarrow produto negativo.
  • Para -2<x<tfrac12 (por exemplo x=0):
    2x-1<0,;x-2<0,;x+2>0 Rightarrow dois negativos e um positivo Rightarrow produto positivo.
  • Para tfrac12<x<2 (por exemplo x=1):
    2x-1>0,;x-2<0,;x+2>0 Rightarrow um negativo Rightarrow produto negativo.
  • Para x>2 (por exemplo x=3):
    todos os fatores são positivos Rightarrow produto positivo.
O produto é negativo em (-infty,-2)cup(tfrac12,2) e anula em x=-2,tfrac12,2.

Passo 5

Como a desigualdade é “ <= 0”, incluímos também os zeros. A solução é
(-infty,-2];cup;l[tfrac12,2r]

Resposta

(-infty,-2]cup[12,2]

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