Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)!}{(n+1)!}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)!}{(n+1)!}
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
O conteúdo aqui é séries numéricas e, em particular, identificar se ela é telescópica.
Passo 2
Simplificamos o termo geral usando fatoriais:
Passo 3
Reescrevemos
em frações parciais:
Isso mostra que a série é telescópica.
Passo 4
Calculamos a soma parcial até
:
Passo 5
Tomamos o limite quando
:
Como o limite é finito, a série converge.
Resposta
A série é convergente (e sua soma é
).