Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)!}{(n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty(n-1)!(n+1)!
O conteúdo aqui é séries numéricas e, em particular, identificar se ela é telescópica.

Passo 2

Simplificamos o termo geral usando fatoriais:
(n-1)!(n+1)! =(n-1)!(n+1),n,(n-1)! =1n(n+1)

Passo 3

Reescrevemos 1n(n+1) em frações parciais:
1n(n+1) =1n-1n+1
Isso mostra que a série é telescópica.

Passo 4

Calculamos a soma parcial até N:
SN=sumn=1^Nl(1n-1n+1r) =1-1N+1

Passo 5

Tomamos o limite quando Ntoinfty:
limNtoinftySN =1-limNtoinfty1N+1 =1
Como o limite é finito, a série converge.

Resposta

A série é convergente (e sua soma é 1).

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