Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n)}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty cos(n)n^3
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas e vamos usar o critério de convergência absoluta por comparação com uma série-p.

Passo 2

Verificamos a convergência absoluta estudando
sumn=1^infty |cos(n)n^3|
Se essa série convergir, a série original converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 3

Como para todo n temos l|cos(n)r|<=1, segue
|cos(n)n^3|<= 1n^3

Passo 4

A série
sumn=1^infty1n^3
é uma série-p com expoente p=3>1, logo converge. Pelo teste de comparação,
sumn=1^infty|cos(n)n^3|
converge, isto é, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^inftycos(n)n^3 é convergente (converge absolutamente).

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