Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} n 3{-n{2}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^inftyn,3^-n^2
O conteúdo principal aqui é aplicar um critério de convergência de séries numéricas, por exemplo o Critério da Razão.

Passo 2

Seja
an=n,3^-n^2
Pelo Critério da Razão, calculamos
an+1an =(n+1),3^-(n+1)^2n,3^-n^2 =n+1n;3^-l((n+1)^2-n^2r) =n+1n;3^-(2n+1)

Passo 3

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyan+1an =limntoinftyn+1n;3^-(2n+1) =1cdot 0 =0
Como esse limite é menor que 1, a série converge absolutamente pelo Critério da Razão.

Resposta

A série sumn=1^inftyn,3^-n^2 é convergente.

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