Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \ln \left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty (-1)^n ln!l(tfrac1nr)
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido são séries numéricas alternadas e o teste da divergência (ou teste do termo geral).

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral usando
ln!l(tfrac1nr)= -ln n. Portanto,
(-1)^n ln!l(tfrac1nr) = (-1)^n cdot (-ln n) = (-1)^n+1,ln n

Passo 3

Note que ln ntoinfty quando ntoinfty. Logo
limntoinfty(-1)^n+1ln n neq 0
Pelo teste da divergência, se o termo geral não tende a zero, a série necessariamente diverge.

Resposta

A série é divergente.

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