Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+\operatorname{sen}(n)}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+\operatorname{sen}(n)}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente.
Conteúdo: teste de comparação e comportamento assintótico de séries de termos positivos. Vamos usar que é limitado e comparar com a série geométrica
.
Conteúdo: teste de comparação e comportamento assintótico de séries de termos positivos. Vamos usar que
Passo 2
Observamos que para todo
vale
Em particular
e
pois
para
.
Passo 3
Da desigualdade acima segue
Como
é uma série geométrica convergente (razão
), pelo teste de comparação direta temos que
também converge.
Resposta
A série
é convergente.