Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+\operatorname{sen}(n)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty12^n+sin(n)
é convergente ou divergente.
Conteúdo: teste de comparação e comportamento assintótico de séries de termos positivos. Vamos usar que sin(n) é limitado e comparar com a série geométrica sum 1/2^n.

Passo 2

Observamos que para todo n>=1 vale
-1 <= sin(n) <= 1 Longrightarrow 2^n - 1 <= 2^n + sin(n) <= 2^n + 1
Em particular 2^n + sin(n)>0 e
2^n + sin(n)>= 2^n - 1 >= 2^n-1 (n>=1),
pois 2^n-1>=2^n/2=2^n-1 para n>=1.

Passo 3

Da desigualdade acima segue
0 < 12^n+sin(n) <= 12^n-1 = 22^n
Como sumn=1^infty 1/2^n é uma série geométrica convergente (razão 1/2<1), pelo teste de comparação direta temos que
sumn=1^infty12^n+sin(n)
também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty12^n+sin(n) é convergente.

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