Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{4}{3 n-2}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n+1,43n-2.
O conteúdo principal é o Critério de Leibniz para séries alternadas e, em seguida, o teste de convergência absoluta.

Passo 2

Identificamos o termo positivo
an = 43n-2
Para aplicar o Critério de Leibniz, precisamos verificar três condições:
  1. an>0 para todo n.
  2. (an) é decrescente.
  3. limntoinftyan=0.

Passo 3

Checagem das condições:
  1. Claramente 43n-2>0 para n>=1.
  2. A função f(x)=4/(3x-2) tem derivada
f'(x) = -12(3x-2)^2 < 0
para x>=1, logo (an) é decrescente.
3.
limntoinftyan = limntoinfty43n-2 = 0

Passo 4

Pelo Critério de Leibniz, como an é positiva, decrescente e tende a zero, a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1an
converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftyl|(-1)^n+1tfrac43n-2r| = sumn=1^infty43n-2
Como 43n-2sim43,1n e a série sum 1/n é divergente, por comparação limitada essa série também diverge. Logo não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo Critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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