Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+3 n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty1n^2+3n
O conteúdo aqui é séries numéricas; vamos usar decomposição em frações parciais e reconhecer que o resultado telescopiza, o que facilita o cálculo da soma parcial e o teste de convergência.

Passo 2

Observe que
1n^2+3n=1n(n+3)
Para decompor em frações parciais, buscamos constantes A e B tais que
1n(n+3)=An+Bn+3

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por n(n+3) obtemos
1=A(n+3)+Bn=(A+B),n+3A
Comparando coeficientes em n e termo constante resulta o sistema
A+B=0, 3A=1,
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A=tfrac13, B=-tfrac13

Passo 4

Substituindo A e B na decomposição,
1n(n+3)=13l(1n-1n+3r)
Assim a série vira
sumn=1^infty1n^2+3n =13sumn=1^inftyl(1n-1n+3r),
que é uma série telescópica.

Passo 5

Calcule a soma parcial SN:
SN =13sumn=1^Nl(1n-1n+3r) =13l(sumn=1^N1n-sumn=1^N1n+3r)
Note que
sumn=1^N1n+3 =sumk=4^N+31k
então muitos termos cancelam ao escrever lado a lado.

Passo 6

Fazendo o cancelamento telescópico, fica
SN =13l(11+12+13 -1N+1-1N+2-1N+3r)
Ao levar Ntoinfty, os termos tfrac1N+1+tfrac1N+2+tfrac1N+3 tendem a zero, ficando
limNtoinftySN =13l(1+tfrac12+tfrac13r) =13cdot116 =1118
Como o limite de SN existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série é convergente (e seu valor é tfrac1118).

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