Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+3 n}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
O conteúdo aqui é séries numéricas; vamos usar decomposição em frações parciais e reconhecer que o resultado telescopiza, o que facilita o cálculo da soma parcial e o teste de convergência.
Passo 2
Observe que
Para decompor em frações parciais, buscamos constantes e tais que
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Comparando coeficientes em e termo constante resulta o sistema
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A=tfrac13, B=-tfrac13
Passo 4
Substituindo A e B na decomposição,
1n(n+3)=13l(1n-1n+3r)
Assim a série vira
sumn=1^infty1n^2+3n =13sumn=1^inftyl(1n-1n+3r),
que é uma série telescópica.
Passo 5
Calcule a soma parcial SN:
SN =13sumn=1^Nl(1n-1n+3r) =13l(sumn=1^N1n-sumn=1^N1n+3r)
Note que
sumn=1^N1n+3 =sumk=4^N+31k
então muitos termos cancelam ao escrever lado a lado.
Passo 6
Fazendo o cancelamento telescópico, fica
SN =13l(11+12+13 -1N+1-1N+2-1N+3r)
Ao levar Ntoinfty, os termos tfrac1N+1+tfrac1N+2+tfrac1N+3 tendem a zero, ficando