Os resultados de uma pesquisa realizada com uma amostra de 380 donas de casa indicaram que 106 delas fazem “a maior parte de suas compras” no shopping local. Para um nível de confiança de 95%
a) Qual é a margem de erro associada à estimativa da proporção?
b) Qual deve ser o tamanho da amostra se não quisermos que a margem de erro seja maior que 3 %, com probabilidade de 0,90 ? Usar resultados anteriores

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra com n=380 donas de casa, das quais 106 fazem a maior parte das compras no shopping. Vamos estimar a proporção verdadeira p e construir um intervalo de confiança para p, calculando a margem de erro para nível de confiança de 95%. Em seguida, determinaremos o tamanho de amostra necessário para que a margem de erro seja no máximo 3% com “probabilidade” (nível de confiança) de 90%, usando a estimativa atual de p.

Passo 2

Calculamos a proporção amostral
hat p = 106380 approx 0,279

Passo 3

A margem de erro para intervalo de confiança de 95% é
E95 = zalpha/2,raizhat p(1-hat p)n,
onde alpha=0,05 e z0,025=1,96.

Passo 4

Substituindo:
E95 = 1,96;raiz0,279,(1-0,279)380 =1,96;raiz0,279cdot0,721380 =1,96;raiz0,000529 approx1,96cdot0,0230 approx0,0451
Logo, a margem de erro é cerca de 4,51%.

Passo 5

Para que a margem de erro seja no máximo 3% com nível de confiança de 90%, usamos
n ;=;hat p,(1-hat p),l(zalpha/2r)^2E^2,
onde agora alpha=0,10, z0,05=1,645 e E=0,03.

Passo 6

Calculando:
n = 0,279cdot0,721;(1,645)^2(0,03)^2 =0,2012;2,7060,0009 approx0,2012times3006,7 approx605,4
Arredondando para cima, precisamos de n=606.

Resposta

a) A margem de erro é aproximadamente 4,51%.
b) Deve-se usar amostra de tamanho n=606.

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