Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{2}+6 n}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{2}+6 n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, podemos usar a técnica de frações parciais para obter uma soma telescópica que facilite o cálculo do limite das somas parciais.
Passo 2
Escrevemos o termo geral em frações parciais. Queremos constantes
e
tais que
Multiplicando por
, obtemos
Escolhendo
dá
, e escolhendo
dá
. Logo
Passo 3
Definimos a soma parcial
Note que isso é telescópico, pois ao expandir os primeiros termos temos
Quase todos os termos internos se cancelam.
Passo 4
Após o cancelamento, sobra
Quando
, o grupo
tende a zero, de modo que
que é finito.
Resposta
A série converge.