Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{2}+6 n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 2n^2 + 6n
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, podemos usar a técnica de frações parciais para obter uma soma telescópica que facilite o cálculo do limite das somas parciais.

Passo 2

Escrevemos o termo geral em frações parciais. Queremos constantes A e B tais que
2n(n+6) = An + Bn+6
Multiplicando por n(n+6), obtemos
2 = A(n+6) + Bn
Escolhendo n=0 2 = 6ARightarrow A=tfrac13, e escolhendo n=-6 2 = -6BRightarrow B=-tfrac13. Logo
2n(n+6) = 13n - 13(n+6)

Passo 3

Definimos a soma parcial
SN = sumn=1^N 2n(n+6) = 13sumn=1^Nl(1n - 1n+6r)
Note que isso é telescópico, pois ao expandir os primeiros termos temos
SN = 13l[(tfrac11-tfrac17)+(tfrac12-tfrac18)+cdots+(tfrac1N-tfrac1N+6)r]
Quase todos os termos internos se cancelam.

Passo 4

Após o cancelamento, sobra
SN = 13l(tfrac11+tfrac12+tfrac13+tfrac14+tfrac15+tfrac16 - l(tfrac1N+1+cdots+tfrac1N+6r)r)
Quando Ntoinfty, o grupo tfrac1N+1+cdots+tfrac1N+6 tende a zero, de modo que
limNtoinftySN = 13l(1+tfrac12+tfrac13+tfrac14+tfrac15+tfrac16r),
que é finito.

Resposta

A série converge.

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