Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e{-n{3}}
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e{-n{3}}
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Integral e decidir se a série
converge ou diverge. Vamos tratar como os valores de uma função contínua
para
, e aplicar o Teste da Integral, que diz que se
for positiva, contínua e decrescente em
, então
e
convergem ou divergem juntos.
converge ou diverge. Vamos tratar
Passo 2
Verificamos as hipóteses do Teste da Integral para
:
- Positividade: para todo
, temos e , logo . - Continuidade:
é composição de polinômio e exponencial, logo é contínua em . - Monotonicidade:
Para
,
, então
. Assim
é decrescente em
.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazemos a substituição
Então
que é finito.
Passo 4
Como
converge (é igual a
), o Teste da Integral garante que
também converge.
também converge.
Resposta
A série converge pelo Teste da Integral.