Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e{-n{3}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Integral e decidir se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2}e^{-n^{3}}
converge ou diverge. Vamos tratar a_{n}=n^{2}e^{-n^{3}} como os valores de uma função contínua \displaystyle f(x)=x^{2}e^{-x^{3}} para x\ge1, e aplicar o Teste da Integral, que diz que se f for positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), então \sum a_{n} e \int_{1}^{\infty}f(x)\,dx convergem ou divergem juntos.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do Teste da Integral para f(x)=x^{2}e^{-x^{3}}:
  1. Positividade: para todo x\ge1, temos x^{2}>0 e e^{-x^{3}}>0, logo f(x)>0.
  2. Continuidade: f é composição de polinômio e exponencial, logo é contínua em [1,\infty).
  3. Monotonicidade:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}e^{-x^{3}}\bigr) =e^{-x^{3}}\bigl(2x -3x^{4}\bigr) =x\,e^{-x^{3}}\bigl(2-3x^{3}\bigr).
Para x\ge1, 2-3x^{3}<0, então f'(x)<0. Assim f é decrescente em [1,\infty).

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}x^{2}e^{-x^{3}}\,dx.
Fazemos a substituição
u = x^{3},\quad du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
Então
\int_{1}^{\infty}x^{2}e^{-x^{3}}\,dx =\frac{1}{3}\int_{u=1^{3}}^{u=\infty}e^{-u}\,du =\frac{1}{3}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{1}^{\infty} =\frac{1}{3}\bigl(0-(-e^{-1})\bigr) =\frac{e^{-1}}{3},
que é finito.

Passo 4

Como \displaystyle \int_{1}^{\infty}x^{2}e^{-x^{3}}\,dx converge (é igual a \tfrac{e^{-1}}{3}), o Teste da Integral garante que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^{2}e^{-n^{3}}
também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Integral.

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