Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Integral na série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}
Isso envolve comparar a série com a integral imprópria de
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}
para x\ge1.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do Teste da Integral sobre
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}\quad(x\ge1):
  1. f(x) é contínua em [1,\infty), pois x^{2}+1>0.
  2. f(x)>0 para todo x\ge1.

Passo 3

Mostramos que f é decrescente em [1,\infty).
Calculamos a derivada:
f'(x) =\frac{(x^{2}+1)\cdot1 - x\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{1 - x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\,.
Para x>1 temos 1-x^{2}<0, logo f'(x)<0. Assim f é decrescente em [1,\infty).

Passo 4

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Use a substituição u=x^{2}+1, de modo que du=2x\,dx. Então
\int_{1}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx =\frac{1}{2}\int_{u(1)=2}^{u\to\infty}\frac{du}{u} =\frac{1}{2}\Bigl[\ln u\Bigr]_{2}^{\infty} =\frac{1}{2}\lim_{U\to\infty}\bigl(\ln U - \ln 2\bigr) =\infty.
A integral diverge.

Passo 5

Como a integral
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx
diverge e f satisfaz as condições do Teste da Integral, concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}
também diverge.

Resposta

A série é divergente pelo Teste da Integral.

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