Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1}
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Integral na série
Isso envolve comparar a série com a integral imprópria de
para
.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do Teste da Integral sobre
-
é contínua em , pois . -
para todo .
Passo 3
Mostramos que
é decrescente em
.
Calculamos a derivada:
Calculamos a derivada:
Para
temos
, logo
. Assim
é decrescente em
.
Passo 4
Calculamos a integral imprópria
Use a substituição
, de modo que
. Então
A integral diverge.
Passo 5
Como a integral
diverge e
satisfaz as condições do Teste da Integral, concluímos que a série
também diverge.
Resposta
A série é divergente pelo Teste da Integral.