Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln (n)}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln (n)}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é séries de termos positivos e faremos o teste da integral. Note que o termo para
é indefinido, então na prática começamos em
.
Passo 2
Verificamos que a função
é positiva, contínua e decrescente para
. Pelo teste da integral, a série
converge ou diverge conforme o comportamento da integral imprópria
Passo 3
Fazemos a substituição
, de modo que
. Assim,
Quando
,
, logo a integral diverge.
Passo 4
Como a integral
é divergente, o teste da integral nos diz que a série
também diverge. Portanto a série original diverge.
Resposta
A série
é divergente.