Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln (n)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 1n ln(n)
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é séries de termos positivos e faremos o teste da integral. Note que o termo para n=1 é indefinido, então na prática começamos em n=2.

Passo 2

Verificamos que a função f(x)=tfrac1xln(x) é positiva, contínua e decrescente para x>=2. Pelo teste da integral, a série
sumn=2^infty 1nln(n)
converge ou diverge conforme o comportamento da integral imprópria
integral2^infty 1xln(x) ,dx

Passo 3

Fazemos a substituição u=ln(x), de modo que du=tfrac1x,dx. Assim,
integral2^t 1xln(x),dx =integralln(2)^ln(t) 1u,du =l[ln(u)r]ln(2)^ln(t) =lnl(ln(t)r)-lnl(ln(2)r)
Quando ttoinfty, ln(ln(t))toinfty, logo a integral diverge.

Passo 4

Como a integral
integral2^infty 1xln(x),dx
é divergente, o teste da integral nos diz que a série
sumn=2^infty 1nln(n)
também diverge. Portanto a série original diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty1nln(n) é divergente.

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