Encontre as soluções e o intervalo sobre o qual as soluções estão definidas para as seguintes equações
x^2 y^prime+x y=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x^2y'+xy=1
e indicar em quais intervalos essas soluções fazem sentido. Trata-se de uma equação linear na forma
y' + P(x)y = Q(x),
onde vamos precisar identificar P(x), Q(x) e usar fator integrante.

Passo 2

Primeiro, dividimos toda a equação por x^2 (supondo xneq0) para colocá-la na forma padrão:
y' + 1x,y = 1x^2
Aqui P(x)=tfrac1x e Q(x)=tfrac1x^2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral tfrac1x,dxr) = exp(ln|x|) =|x|
Como mu pode ser multiplicado por constante e trabalhamos em intervalos onde x não muda de sinal, escolhemos mu(x)=x em cada intervalo.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x, obtemos
x,y' + y = 1x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x,y:
ddxl(x,yr) = x,y' + y

Passo 5

Então a equação fica
ddxl(x,yr) = 1x
Integramos em relação a x:
x,y = integral 1x,dx = lnlvert xrvert + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolando y, temos
y(x) = lnlvert xrvert + Cx
Essa é a solução geral da equação.

Passo 7

Como no processo usamos divisão por x e lnlvert xrvert, a solução só faz sentido para xneq0. Portanto, os intervalos de definição são dois intervalos onde x mantém sinal:
(0,infty) e (-infty,0)

Resposta

A solução geral é
y(x)=lnlvert xrvert + Cx,
definida em cada intervalo (0,infty) ou (-infty,0).

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