Encontre as soluções e o intervalo sobre o qual as soluções estão definidas para as seguintes equações
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
e indicar em quais intervalos essas soluções fazem sentido. Trata-se de uma equação linear na forma
onde vamos precisar identificar
,
e usar fator integrante.
Passo 2
Primeiro, dividimos toda a equação por
(supondo
) para colocá-la na forma padrão:
Aqui
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
como
Como
pode ser multiplicado por constante e trabalhamos em intervalos onde
não muda de sinal, escolhemos
em cada intervalo.
Passo 4
Multiplicando a equação padrão por
, obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
:
Passo 5
Então a equação fica
Integramos em relação a
:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Isolando
, temos
Essa é a solução geral da equação.
Passo 7
Como no processo usamos divisão por
e
, a solução só faz sentido para
. Portanto, os intervalos de definição são dois intervalos onde
mantém sinal:
Resposta
A solução geral é
definida em cada intervalo
ou
.