Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}+n+3}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty1n^3+n+3
e pede para decidir se ela converge ou diverge. Trata-se de uma série de termos positivos; vamos usar o teste de comparação com uma p-série.

Passo 2

Para n>=1 vale
n^3+n+3 > n^3
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1n^3+n+3 < 1n^3
Sabemos que a p-série sum 1/n^p converge se e somente se p>1. Aqui temos p=3>1.

Passo 3

Como sumn=1^infty1/n^3 converge e tfrac1n^3+n+3<=tfrac1n^3, pelo teste da comparação direta a série dada também converge.

Resposta

A série é convergente.

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