Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty n e^-n
é convergente ou divergente.
Conteúdo: séries numéricas e, em particular, o teste da razão para séries positivas.

Passo 2

Seja an = n e^-n. Aplicamos o teste da razão, que diz para calcular
L = limntoinftyan+1an
Temos
an+1an = (n+1)e^-(n+1)n e^-n = n+1n,e^-1 = l(1 + 1nr)e^-1
Logo,
L = limntoinftyl(1 + tfrac1nr)e^-1 = e^-1

Passo 3

Como e^-1<1, o teste da razão garante que a série
sumn=1^infty n e^-n
converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série é convergente.

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