Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}.
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente.
Conteúdo: séries numéricas e, em particular, o teste da razão para séries positivas.
Conteúdo: séries numéricas e, em particular, o teste da razão para séries positivas.
Passo 2
Seja
. Aplicamos o teste da razão, que diz para calcular
Temos
Logo,
Passo 3
Como
, o teste da razão garante que a série
converge absolutamente, e portanto converge.
converge absolutamente, e portanto converge.
Resposta
A série é convergente.