Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 13n+1
é convergente ou divergente. Trata-se de uma série de termos positivos, e podemos usar o critério de comparação limite com a série harmônica, cuja convergência é conhecida.

Passo 2

Definimos
an = 13n+1
e escolhemos como série de comparação
bn = 1n,
pois a série sum bn é a série harmônica, que diverge.

Passo 3

Calculamos o limite de comparação:
limntoinfty anbn = limntoinfty 13n+11n = limntoinfty n3n+1 = 13
Esse limite é um número finito e estritamente positivo.

Passo 4

Pelo teste de comparação limite, como
sum bn diverge e
limntoinfty an/bn = 1/3 > 0,
concluímos que
sum an = sumn=1^infty 13n+1
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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