Dois catalizadores estão sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento médio de um processo químico. Especificamente, o catalisador 1 está corretamente em uso, mas o catalisador 2 é aceitável. Uma vez que o catalisador 2 é mais barato, ele deve ser adotado, desde que ele não mude o rendimento do processo. Um teste é feito em uma planta piloto, resultando os seguintes dados:
Observação 1 2 3 4 5 6 7 8
Catalisador 1 49,41 50,86 49,78 51,51 49,57 48,1 51,15 48,17
Catalizador 2 48,16 49,11 48,85 50,33 52,48 52,4 49,18 50,09
Há alguma diferença entre os rendimentos médios? Use .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está perguntando. Temos dois catalisadores sendo testados para ver como eles afetam o rendimento médio de um processo químico. O catalisador 1 está corretamente em uso, e o catalisador 2 é uma opção mais barata. Queremos saber se o catalisador 2 pode ser adotado sem alterar o rendimento do processo. Para isso, vamos comparar os rendimentos médios dos dois catalisadores usando um teste estatístico apropriado com um nível de significância alpha = 0,05.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual teste estatístico é adequado para essa comparação. Como temos duas amostras relacionadas (os mesmos processos químicos testados com os dois catalisadores) e queremos comparar suas médias, o teste t pareado é a melhor opção. Esse teste nos ajuda a determinar se há uma diferença estatisticamente significativa entre as duas médias.

Passo 3

Vamos organizar os dados:
Vamos calcular a diferença entre as observações do Catalisador 1 e 2:
Calculando cada diferença:

Passo 4

Agora, vamos calcular a média das diferenças ( D) e o desvio padrão das diferenças ( sD).
D = sum Din = 1,25 + 1,75 + 0,93 + 1,18 - 2,91 - 4,30 + 1,97 - 1,928
Calculando a soma das diferenças:
1,25 + 1,75 + 0,93 + 1,18 - 2,91 - 4,30 + 1,97 - 1,92 = -3,15
Então:
D = -3,158 = -0,39375
Agora, calculamos o desvio padrão das diferenças. Primeiro, encontramos cada (Di - D)^2:
(1,25 + 0,39375)^2 &= (1,64375)^2 approx 2,696 (1,75 + 0,39375)^2 &= (2,14375)^2 approx 4,594 (0,93 + 0,39375)^2 &= (1,32375)^2 approx 1,752 (1,18 + 0,39375)^2 &= (1,57375)^2 approx 2,475 (-2,91 + 0,39375)^2 &= (-2,52625)^2 approx 6,383 (-4,30 + 0,39375)^2 &= (-3,90625)^2 approx 15,265 (1,97 + 0,39375)^2 &= (2,36375)^2 approx 5,583 (-1,92 + 0,39375)^2 &= (-1,52625)^2 approx 2,329
Somando esses valores:
2,696 + 4,594 + 1,752 + 2,475 + 6,383 + 15,265 + 5,583 + 2,329 approx 40,176
Então, o desvio padrão das diferenças é:
sD = raizsum (Di - D)^2n - 1 = raiz40,1767 approx raiz5,739 approx 2,396

Passo 5

Agora, vamos formular as hipóteses para o teste:
  • Hipótese nula ( H0): Não há diferença nos rendimentos médios dos catalisadores. Ou seja, muD = 0.
  • Hipótese alternativa ( HA): Há uma diferença nos rendimentos médios dos catalisadores. Ou seja, muD neq 0.

Passo 6

Vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
t = DsD / raizn = -0,393752,396 / raiz8 = -0,393750,847 approx -0,465

Passo 7

Com alpha = 0,05 e gl = n - 1 = 7, consultamos a tabela t de Student para um teste bicaudal. O valor crítico para gl = 7 e alpha/2 = 0,025 em cada cauda é aproximadamente tcrítico approx pm 2,365í.
Comparando o valor calculado de t approx -0,465 com os valores críticos:
-2,365 < -0,465 < 2,365
Como o valor calculado de t está dentro do intervalo crítico, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há diferença estatisticamente significativa entre os rendimentos médios dos catalisadores 1 e 2 com nível de significância de 5%.

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