Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
O conteúdo principal é o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de p-série para a convergência absoluta.
Passo 2
Definimos a sequência dos coeficientes positivos
- Positividade:
para todo . - Monotonicidade: a função
tem derivada para , logo é estritamente decrescente. - Limite nulo:
Passo 3
Pelo critério de Leibniz, uma série alternada
converge se
é decrescente e tende a zero. Como vimos que
satisfaz ambas as condições, concluímos que
é convergente.
Passo 4
Para verificar convergência absoluta, consideramos
Esta é uma p-série com
p=tfrac12<1 , que é divergente.
Passo 5
Como a série converge (Passo 3) mas não converge absolutamente (Passo 4), ela converge apenas condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente.