Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n-1raizn
O conteúdo principal é o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de p-série para a convergência absoluta.

Passo 2

Definimos a sequência dos coeficientes positivos
an = 1raizn
  1. Positividade: an>0 para todo n.
  2. Monotonicidade: a função f(x)=x^-1/2 tem derivada f'(x)=-tfrac12x^-3/2<0 para x>0, logo an é estritamente decrescente.
  3. Limite nulo:
limntoinftyan=limntoinfty1raizn=0

Passo 3

Pelo critério de Leibniz, uma série alternada sum(-1)^n-1an converge se an é decrescente e tende a zero. Como vimos que an satisfaz ambas as condições, concluímos que
sumn=1^infty(-1)^n-1raizn
é convergente.

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftygl|(-1)^n-1raizngr| =sumn=1^infty1raizn
Esta é uma p-série com p=tfrac12<1, que é divergente.

Passo 5

Como a série converge (Passo 3) mas não converge absolutamente (Passo 4), ela converge apenas condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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