Mediante uma amostra aleatória de 400 jovens universitários, 20 % manifestaram sua preferência por certo programa de televisão. Depois de introduzir umas mudanças com a intensão de melhorar dita proporção, se considerou outra amostra aleatória de 400 estudantes e se encontrou que 22 % deles manifestaram sua preferência pelo programa.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
FACULDADE DE ECONOMIA
Prova 3 de Estatística Econômica II

Com um nível de significação de 5 %, se poderá rejeitar a efetividade das mudanças introduzidos no programa?

Passo 1

O enunciado apresenta duas amostras independentes de tamanho n1 = n2 = 400. Na primeira, a proporção de preferência era hat p1 = 0,20; na segunda, após mudanças, hat p2 = 0,22. Queremos testar, a 5% de significância, se a proporção realmente aumentou. Portanto, enfrentamos um teste de hipótese para a diferença de proporções:
H0: p2 = p1 versus H1: p2 > p1

Passo 2

Sob H0 assumimos que ambas as amostras vêm da mesma proporção p. Calculamos a proporção agrupada (pooled):
x1 = n1 hat p1 = 400 times 0,20 = 80, x2 = n2 hat p2 = 400 times 0,22 = 88,
hat p = x1 + x2n1 + n2 = 80 + 88800 = 0,21

Passo 3

O erro-padrão da diferença de proporções, usando a proporção agrupada, é
SE = raizhat p ,(1 - hat p),l(1n1 + 1n2r) = raiz0,21 times 0,79 times 2400 approx 0,0288

Passo 4

Calculamos o valor-padrão do teste ( z):
z = hat p2 - hat p1SE = 0,22 - 0,200,0288 approx 0,694

Passo 5

Para um teste unilateral à direita com alpha = 0,05, o valor crítico é
z0,95 = 1,645
Como z = 0,694 < 1,645, não entramos na região de rejeição.

Resposta

Não se pode rejeitar H0 ao nível de 5%. Não há evidência estatística suficiente de que a proporção de preferência aumentou após as mudanças.

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