Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn-1^infty (-1)^n-1ln (n+4)

Passo 1

O enunciado pede para testarmos a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n-1ln(n+4).
O conteúdo envolve o teste de Leibniz para séries alternadas e, depois, o teste de convergência absoluta via integral.

Passo 2

Para aplicar o teste de Leibniz, definimos
an=1ln(n+4).
Primeiro, verificamos o critério “termo a termo”:
limntoinftyan =limntoinfty1ln(n+4) =0

Passo 3

Agora precisamos de an positiva e monótona decrescente para n>=1.
Considere a função contínua
f(x)=1ln(x+4), x>=1
Derivando,
f'(x) =-1(x+4),ln^2(x+4)<0
para todo x>=1. Logo an=f(n) é decrescente.

Passo 4

Pelas condições de sinal alternado, anto0 e an decrescente, o teste de Leibniz garante que
sumn=1^infty(-1)^n-1an converge.

Passo 5

Para verificar a convergência absoluta, estudamos
sumn=1^inftyl|(-1)^n-1anr|= sumn=1^infty1ln(n+4).
Usamos o teste integral: como f(x)=1/ln(x+4) é positiva e decrescente, comparamos
integral1^inftydxln(x+4)
Fazendo a substituição u=ln(x+4) mostra-se que o integral diverge (é semelhante a integral2^inftydu/u).
Portanto a série dos módulos diverge, isto é, não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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