Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
O enunciado pede para testarmos a convergência da série .
O conteúdo envolve o teste de Leibniz para séries alternadas e, depois, o teste de convergência absoluta via integral.
Passo 2
Para aplicar o teste de Leibniz, definimos .
Primeiro, verificamos o critério “termo a termo”:
Passo 3
Agora precisamos de positiva e monótona decrescente para .
Considere a função contínua
Derivando,
para todo . Logo é decrescente.
Passo 4
Pelas condições de sinal alternado, e decrescente, o teste de Leibniz garante que converge.
Passo 5
Para verificar a convergência absoluta, estudamos .
Usamos o teste integral: como f(x)=1/ln(x+4) é positiva e decrescente, comparamos
integral1^inftydxln(x+4)
Fazendo a substituição u=ln(x+4) mostra-se que o integral diverge (é semelhante a integral2^inftydu/u).
Portanto a série dos módulos diverge, isto é, não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).