Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{\sqrt{n^{3}+n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty 3raizn^3+n
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste de comparação com série p.

Passo 2

Para grandes n, analisamos o comportamento do termo geral
raizn^3+n = n^3/2raiz1+1n^2,
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3raizn^3+n =3n^3/2,raiz1+1n^2 sim3n^3/2

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação-limite entre
an=3raizn^3+n e bn=1n^3/2
Calculamos
L=limntoinftyanbn =limntoinfty3raizn^3+n1n^3/2 =limntoinfty3,n^3/2raizn^3+n =3limntoinfty1raiz1+1n^2 =3
Como 0<L<infty e sum bn=sum1n^3/2 é uma série p com p=tfrac32>1, concluímos que sum an converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 3raizn^3+n é convergente.

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