Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5 n}-\frac{3}{2 n}\right)
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5 n}-\frac{3}{2 n}\right)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar a comparação com a série harmônica e a propriedade de linearidade de somatório.
Passo 2
Vamos combinar as parcelas em um único quociente. Para isso, note que
Passo 3
Passo 4
Agora a série fica
Passo 5
Passo 6
Sabemos que a série harmônica
diverge (ela cresce sem limite). Multiplicar por uma constante não nula (
) não muda o fato de divergir.
Passo 7
Portanto, a série dada é divergente.
Resposta
A série é divergente.