Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5 n}-\frac{3}{2 n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^inftyl(tfrac25n-tfrac32nr) converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar a comparação com a série harmônica e a propriedade de linearidade de somatório.

Passo 2

Vamos combinar as parcelas em um único quociente. Para isso, note que

Passo 3

25n-32n=2cdot2-3cdot510n=4-1510n=-1110,1n

Passo 4

Agora a série fica

Passo 5

sumn=1^inftyl(-11101nr)=-1110sumn=1^infty1n

Passo 6

Sabemos que a série harmônica sumn=1^inftytfrac1n diverge (ela cresce sem limite). Multiplicar por uma constante não nula ( -11/10) não muda o fato de divergir.

Passo 7

Portanto, a série dada é divergente.

Resposta

A série é divergente.

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