Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e^{-n}
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e^{-n}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão (ou de d’Alembert), que diz que, para
, se
existe e
, então a série
converge.
Passo 2
Definimos
Calculamos a razão entre termos consecutivos:
Agora tomamos o limite quando
:
Passo 3
Como
, o teste da razão nos garante que a série
converge.
Resposta
A série é convergente.