Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e^{-n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty n^2e^-n
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão (ou de d’Alembert), que diz que, para an>0, se
L = limntoinftyan+1an
existe e L<1, então a série sum an converge.

Passo 2

Definimos
an = n^2e^-n
Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)^2e^-(n+1)n^2e^-n = (n+1)^2n^2;e^-1
Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyan+1an = limntoinfty(n+1)^2n^2;e^-1 = 1cdot e^-1 = e^-1

Passo 3

Como e^-1<1, o teste da razão nos garante que a série sumn=1^inftyn^2e^-n converge.

Resposta

A série é convergente.

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