Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{1}{2 n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^infty(-1)^n+112n
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o teste de Leibniz para séries alternadas e a noção de convergência absoluta versus condicional.

Passo 2

Vamos aplicar o critério de Leibniz. Identificamos as parcelas não–alternantes
an = 12n
Precisamos checar dois pontos:
  1. As an são monoticamente decrescentes? Como nmapsto1/(2n) decresce quando n aumenta, sim.
  2. Limite de an quando ntoinfty:
limntoinftyan=limntoinfty12n=0
Portanto, pelos requisitos do teste de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 3

Agora verificamos convergência absoluta. Consideramos
sumn=1^inftygl|!(-1)^n+112ngr| =sumn=1^infty12n =12sumn=1^infty1n
Mas sumn=1^infty1/n é a série harmônica, que diverge. Logo a nossa série não converge absolutamente, apenas condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente (convergência pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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