Exercício 10 Encontre a solução geral da equação
para
, para
e para
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
dependendo dos valores de
. O que vamos precisar é a técnica de equação característica: associar a raiz da polinomial
e tratar os três casos conforme o discriminante.
Passo 2
Escrevemos a equação característica
O discriminante é
A natureza das raízes depende do sinal de
:
- se
, então ; - se
, então ; - se
, então .
Passo 3
Caso
: temos
, escrevemos
. Logo as raízes são complexas conjugadas
Chamando
, a solução geral é
Passo 4
Caso
: temos
, há raiz dupla
Para raiz repetida, a solução geral é
Passo 5
Caso
: temos
, escrevemos
. As raízes são reais e distintas
A solução geral fica
Resposta
Para
:
Para
:
Para
: