Exercício 10 Encontre a solução geral da equação
y^prime prime+2 y^prime+alpha y=0
para alpha>1, para alpha=1 e para alpha<1.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y'' + 2y' + alpha y = 0,
dependendo dos valores de alpha. O que vamos precisar é a técnica de equação característica: associar a raiz da polinomial r^2+2r+alpha=0 e tratar os três casos conforme o discriminante.

Passo 2

Escrevemos a equação característica
r^2 + 2r + alpha = 0
O discriminante é
De<a = 2^2 -4alpha = 4(1-alpha)
A natureza das raízes depende do sinal de 1-alpha:
  • se alpha>1, então De<a<0;
  • se alpha=1, então De<a=0;
  • se alpha<1, então De<a>0.

Passo 3

Caso alpha>1: temos De<a<0, escrevemos De<a = -4(alpha-1). Logo as raízes são complexas conjugadas
r = -1 pm iraizalpha-1
Chamando beta = raizalpha-1, a solução geral é
y(x) = e^-xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)

Passo 4

Caso alpha=1: temos De<a=0, há raiz dupla
r = -1
Para raiz repetida, a solução geral é
y(x) = (C1 + C2,x)e^-x

Passo 5

Caso alpha<1: temos De<a>0, escrevemos De<a = 4(1-alpha). As raízes são reais e distintas
r1 = -1 + raiz1-alpha, r2 = -1 - raiz1-alpha
A solução geral fica
y(x) = C1 e^r1x + C2 e^r2x

Resposta

Para alpha>1:
y(x) = e^-xl(C1cos(raizalpha-1,x) + C2sin(raizalpha-1,x)r)
Para alpha=1:
y(x) = (C1 + C2,x)e^-x
Para alpha<1:
y(x) = C1 e^l(-1+raiz1-alphar)x + C2 e^l(-1-raiz1-alphar)x

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