Determine se a série é convergente ou divergente:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente.
Informações dadas: a fórmula do termo geral é . Não há mais dados ocultos — a série é alternada pelo fator
e o numerador e denominador são polinômios em
.
é convergente ou divergente.
Informações dadas: a fórmula do termo geral é
Passo 2
Regra necessária (teste preliminar) que sempre precisamos checar: se uma série
converge, então o termo geral
deve tender a zero quando
. Vou explicar por que isso é verdade de forma curta e direta: suponha que as somas parciais
convergem para um número . Então
.
Como e
, a diferença
tende a
. Logo, condição necessária:
quando
. Se isso não acontece, a série não pode convergir.
convergem para um número
Como
Passo 3
Vamos analisar o limite do termo geral dado:
Primeiro olhamos para o módulo (a parte positiva)
Para calcular dividimos numerador e denominador por
:
Primeiro olhamos para o módulo (a parte positiva)
Para calcular
Portanto
. Assim o módulo do termo geral tende a
:
Se o módulo tende a
, o próprio
(que é esse número com sinal alternado) não pode tender a
; na verdade os termos
oscilam aproximando-se de
e
alternadamente.
Passo 4
Aplicando a regra necessária do Passo 2: como
(tem limite não nulo em módulo), a série não pode convergir. Em linguagem prática: os termos não desaparecem, continuam com tamanho próximo de
, então as somas parciais não se estabilizam — elas ficam pulando e não se aproximam de um valor fixo.
Resposta
A série é divergente.