Determine se a série é convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{3 n-1}{2 n+5}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{3n-1}{2n+5}
é convergente ou divergente.
Informações dadas: a fórmula do termo geral é \displaystyle a_n = (-1)^{n+1}\,\frac{3n-1}{2n+5}. Não há mais dados ocultos — a série é alternada pelo fator (-1)^{n+1} e o numerador e denominador são polinômios em n.

Passo 2

Regra necessária (teste preliminar) que sempre precisamos checar: se uma série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então o termo geral a_n deve tender a zero quando n\to\infty. Vou explicar por que isso é verdade de forma curta e direta: suponha que as somas parciais
\displaystyle S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n
convergem para um número S. Então
\displaystyle a_{N}=S_N-S_{N-1}.
Como S_N\to S e S_{N-1}\to S, a diferença a_N=S_N-S_{N-1} tende a 0. Logo, condição necessária: \displaystyle a_n\to0 quando n\to\infty. Se isso não acontece, a série não pode convergir.

Passo 3

Vamos analisar o limite do termo geral dado:
\displaystyle a_n = (-1)^{n+1}\,\frac{3n-1}{2n+5}.
Primeiro olhamos para o módulo (a parte positiva)
\displaystyle b_n=\frac{3n-1}{2n+5}.
Para calcular \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n dividimos numerador e denominador por n:
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{3-\frac{1}{n}}{2+\frac{5}{n}} = \frac{3}{2}.
Portanto \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n=\frac{3}{2}. Assim o módulo do termo geral tende a \tfrac{3}{2}:
\lim_{n\to\infty} |a_n| = \lim_{n\to\infty} \frac{3n-1}{2n+5} = \frac{3}{2}\neq 0.
Se o módulo tende a \tfrac{3}{2}, o próprio a_n (que é esse número com sinal alternado) não pode tender a 0; na verdade os termos a_n oscilam aproximando-se de +\tfrac{3}{2} e -\tfrac{3}{2} alternadamente.

Passo 4

Aplicando a regra necessária do Passo 2: como \displaystyle a_n\not\to 0 (tem limite não nulo em módulo), a série não pode convergir. Em linguagem prática: os termos não desaparecem, continuam com tamanho próximo de \tfrac{3}{2}, então as somas parciais não se estabilizam — elas ficam pulando e não se aproximam de um valor fixo.

Resposta

A série é divergente.

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