Identifique se a série é absolutamente convergente e se ela é convergente.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}
é absolutamente convergente e se é convergente. Informações dadas relevantes:
  • O termo geral da série é a_n=\left(\dfrac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\right)^{n}.
  • Cada termo é obtido elevando uma fração positiva à potência n.
    Não vamos resolver ainda; apenas organizamos o que é pedido e o que temos.

Passo 2

Observação importante sobre sinais (isso simplifica a análise):
  • Para todo n\ge1 temos n^{2}+1>0 e 2n^{2}+1>0. Logo a fração \dfrac{n^{2}+1}{2n^{2}+1} é positiva.
  • Portanto a_n\ge0 para todo n. Consequência: a série tem termos não negativos, então convergência simples e convergência absoluta coincidem — ou seja, se a série converge, ela também converge absolutamente, e vice‑versa, pois |a_n|=a_n.

Passo 3

Apresento um teste prático e poderoso para séries com potências: o teste da raiz n-ésima (root test). Vou explicar a ideia do teste:
  • Para uma série \sum a_n (com a_n reais ou complexos), calcule
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Se L<1 a série converge absolutamente.
  • Se L>1 a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
    Aqui \sqrt[n]{|a_n|}=|a_n|^{1/n}. No nosso caso, como a_n\ge0, temos \sqrt[n]{a_n} = a_n^{1/n}.

Passo 4

Aplique o teste da raiz ao nosso a_n. Primeiro calcule a n-ésima raiz do termo:
\sqrt[n]{a_n}=\left(\left(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\right)^{n}\right)^{1/n}=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}.
Agora precisamos do limite (ou limsup) dessa expressão quando n\to\infty. Calcule:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}.
Dividindo numerador e denominador por n^{2},
\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}=\frac{1+\tfrac{1}{n^{2}}}{2+\tfrac{1}{n^{2}}}.
Quando n\to\infty os termos \tfrac{1}{n^{2}}\to0, portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}=\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Aplicando o resultado do Passo 4 ao teste da raiz:
  • Obtivemos L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\dfrac{1}{2}.
  • Como L=\dfrac{1}{2}<1, o teste da raiz garante que a série \sum a_n converge absolutamente.

Passo 6

Concluímos também sobre a convergência usual:
  • Como os termos a_n são não negativos, convergência absoluta implica convergência (e vice‑versa neste caso). Então a série converge (normalmente) e, de fato, converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.
A série converge.

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