Identifique se a série é absolutamente convergente e se ela é convergente.
.
Passo 1
O enunciado pede para identificarmos se a série
é absolutamente convergente e se é convergente. Informações dadas relevantes:
- O termo geral da série é
. - Cada termo é obtido elevando uma fração positiva à potência
.
Não vamos resolver ainda; apenas organizamos o que é pedido e o que temos.
Passo 2
Observação importante sobre sinais (isso simplifica a análise):
- Para todo
temos e . Logo a fração é positiva. - Portanto
para todo . Consequência: a série tem termos não negativos, então convergência simples e convergência absoluta coincidem — ou seja, se a série converge, ela também converge absolutamente, e vice‑versa, pois .
Passo 3
Apresento um teste prático e poderoso para séries com potências: o teste da raiz
-ésima (root test). Vou explicar a ideia do teste:
- Para uma série
(com reais ou complexos), calcule
- Se
a série converge absolutamente. - Se
a série diverge. - Se
o teste é inconclusivo.
Aqui. No nosso caso, como , temos .
Passo 4
Aplique o teste da raiz ao nosso
. Primeiro calcule a
-ésima raiz do termo:
Agora precisamos do limite (ou limsup) dessa expressão quando
. Calcule:
Dividindo numerador e denominador por
,
Quando
os termos
, portanto
Passo 5
Aplicando o resultado do Passo 4 ao teste da raiz:
- Obtivemos
. - Como
, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.
Passo 6
Concluímos também sobre a convergência usual:
- Como os termos
são não negativos, convergência absoluta implica convergência (e vice‑versa neste caso). Então a série converge (normalmente) e, de fato, converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente.
A série converge.
A série converge.