Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série alternante
converge ou diverge; o conteúdo principal aqui é o critério de Leibniz para séries alternantes, que requer verificar que os termos em módulo formam uma sequência decrescente que tende a zero.
Passo 2
Definimos
. Primeiro, calculamos o limite de
quando
:
Isso mostra que a condição
do critério de Leibniz está satisfeita.
Passo 3
Agora precisamos mostrar que
é decrescente para
. Considere a função contínua
cuja derivada é
Como
, a função
é decrescente, logo
.
Passo 4
Pelos pontos anteriores temos que
e
decresce. Pelo critério de Leibniz, a série alternante
converge.
Passo 5
Para ver se converge absolutamente, analisamos
Como para
grande temos
e a série
diverge (
), pela comparação concluímos que
diverge. Portanto, não há convergência absoluta, apenas condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).