Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^n+11+raizn

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série alternante sumn=1^infty (-1)^n+11+raizn converge ou diverge; o conteúdo principal aqui é o critério de Leibniz para séries alternantes, que requer verificar que os termos em módulo formam uma sequência decrescente que tende a zero.

Passo 2

Definimos an = 11+raizn. Primeiro, calculamos o limite de an quando ntoinfty:
limntoinfty an = limntoinfty 11+raizn = 0
Isso mostra que a condição anto 0 do critério de Leibniz está satisfeita.

Passo 3

Agora precisamos mostrar que (an) é decrescente para n>=1. Considere a função contínua
f(x)=11+raizx,
cuja derivada é
f'(x)=-12raizx,(1+raizx)^2<0para x>0
Como f'(x)<0, a função f é decrescente, logo an+1=f(n+1).

Passo 4

Pelos pontos anteriores temos que anto0 e an decresce. Pelo critério de Leibniz, a série alternante
sumn=1^infty(-1)^n+1an
converge.

Passo 5

Para ver se converge absolutamente, analisamos
sumn=1^inftyan = sumn=1^infty11+raizn
Como para n grande temos 11+raizn>12raizn e a série sum1/raizn diverge ( p=1/2<1), pela comparação concluímos que sum an diverge. Portanto, não há convergência absoluta, apenas condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).

Exercícios relacionados