Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n n^23^n

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty(-1)^nn^23^n e precisamos determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries, especialmente o Teste da Razão para séries de termos positivos e, se necessário, o Critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos sumn=1^inftyn^23^n. Aplicamos o Teste da Razão, definindo an = n^23^n. Calculamos o limite:
L = limntoinfty|an+1an| = limntoinfty(n+1)^23^n+1cdot 3^nn^2 = limntoinfty(n+1)^23n^2 = 13
Como L = 13 < 1, a série de termos positivos converge.

Passo 3

Como a série de valores absolutos converge, concluímos que a série original sumn=1^infty(-1)^ntfracn^23^n converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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