Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty (-3)^n4^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty (-3)^n4^n
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Caso convergente, devemos calcular a soma. O conteúdo aqui é séries geométricas, onde usamos o teste de convergência lvert rrvert<1 e, se converge, a fórmula da soma.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral como uma potência de uma razão única:
(-3)^n4^n = l(-tfrac34r)^n
Isso mostra que é uma série geométrica com primeiro termo
;a1 = l(-tfrac34r)^1 = -tfrac34
e razão
;r = -tfrac34

Passo 3

O critério de convergência para série geométrica é
lvert rrvert < 1
Aqui
;lvert -tfrac34rvert = tfrac34 < 1,
portanto a série converge.

Passo 4

Para séries geométricas convergentes com início em n=1, a soma é
S = a11 - r
Substituindo a1 = -tfrac34 e r = -tfrac34, temos
S = -tfrac341 - l(-tfrac34r) = -tfrac341 + tfrac34 = -tfrac34tfrac74 = -37

Resposta

A série converge e sua soma é -tfrac37.

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