Questão 11: Resolver as seguintes inequações e encontrar o intervalo de soluções:
(2 x-3)(4-5 x)(-4 x+3) >= 0

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
(2x-3)(4-5x)(-4x+3)>=0
Este é um problema de análise de sinais de um produto de três fatores lineares. Vamos
  1. encontrar as raízes de cada fator,
  2. ordenar essas raízes e dividir a reta real em intervalos,
  3. testar o sinal do produto em cada intervalo,
  4. coletar aqueles onde o produto é não-negativo.

Passo 2

Determinar as raízes de cada fator:
2x-3=0Longrightarrow x=tfrac32,
4-5x=0Longrightarrow x=tfrac45,
-4x+3=0Longrightarrow x=tfrac34

Passo 3

Ordenamos as raízes em ordem crescente e dividimos a reta real em quatro intervalos:
tfrac34<tfrac45<tfrac32,
portanto os intervalos são
(-infty,tfrac34),;(tfrac34,tfrac45),;(tfrac45,tfrac32),;(tfrac32,infty)

Passo 4

Em cada intervalo, escolhemos um ponto de teste e avaliamos o sinal de cada fator:
  1. Para x<tfrac34 (ex.: x=0):
    2x-3<0,;4-5x>0,;-4x+3>0;Longrightarrow produto <0.
  2. Para tfrac34<x<tfrac45 (ex.: x=0,8):
    2x-3<0,;4-5x>0,;-4x+3<0;Longrightarrow produto >0.
  3. Para tfrac45<x<tfrac32 (ex.: x=1):
    2x-3<0,;4-5x<0,;-4x+3<0;Longrightarrow produto <0.
  4. Para x>tfrac32 (ex.: x=2):
    2x-3>0,;4-5x<0,;-4x+3<0;Longrightarrow produto >0.
Queremos (2x-3)(4-5x)(-4x+3)>=0, ou seja, produto positivo ou zero. Incluímos também as raízes onde o produto se anula.

Resposta

xinl[tfrac34,tfrac45r];cup;l[tfrac32,inftyr]

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