Você é um engenheiro encarregado de estudar o crescimento populacional de uma colônia de bactérias em um ambiente controlado. Sabe-se que o crescimento populacional das bactérias segue uma sequência numérica que se assemelha à sequência de Fibonacci. Inicialmente, a colônia possui 1 bactéria. A cada dia, cada bactéria existente gera uma nova bactéria, e uma bactéria recém-nascida só se torna capaz de reproduzir após 5 dias de vida. As bactérias não morrem ao longo do tempo.
Qual é a população de bactérias após 30 dias?

Passo 1

O enunciado descreve uma população de bactérias em que inicialmente há uma única bactéria e, a cada dia, cada bactéria com mais de 5 dias de vida gera uma nova. Esse é um modelo de crescimento com atraso de reprodução de 5 dias, que leva a uma recorrência do tipo “Fibonacci atrasado”. Vamos usar programação dinâmica para montar e iterar essa recorrência.

Passo 2

Definimos f(n) como o número de bactérias ao final do dia n. A cada dia nasce uma bactéria para cada indivíduo com idade superior a 5 dias, ou seja, para cada bactéria nascida até o dia n-6. Assim, para n>=6 temos a relação de recorrência
f(n)=f(n-1)+f(n-6)

Passo 3

Precisamos das condições iniciais de f(n) para n=0,1,2,3,4,5. Como nenhuma bactéria consegue se reproduzir antes de completar 5 dias de vida, o número de bactérias permanece igual a 1 até o dia 5:
f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=1

Passo 4

Agora aplicamos a recorrência para n=6,7,dots,30, calculando iterativamente cada f(n):
f(6)&=f(5)+f(0)=1+1=2, f(7)&=f(6)+f(1)=2+1=3, f(8)&=f(7)+f(2)=3+1=4, f(9)&=f(8)+f(3)=4+1=5, f(10)&=f(9)+f(4)=5+1=6, f(11)&=f(10)+f(5)=6+1=7, f(12)&=f(11)+f(6)=7+2=9, f(13)&=f(12)+f(7)=9+3=12, f(14)&=f(13)+f(8)=12+4=16, f(15)&=f(14)+f(9)=16+5=21, f(16)&=f(15)+f(10)=21+6=27, f(17)&=f(16)+f(11)=27+7=34, f(18)&=f(17)+f(12)=34+9=43, f(19)&=f(18)+f(13)=43+12=55, f(20)&=f(19)+f(14)=55+16=71, f(21)&=f(20)+f(15)=71+21=92, f(22)&=f(21)+f(16)=92+27=119, f(23)&=f(22)+f(17)=119+34=153, f(24)&=f(23)+f(18)=153+43=196, f(25)&=f(24)+f(19)=196+55=251, f(26)&=f(25)+f(20)=251+71=322, f(27)&=f(26)+f(21)=322+92=414, f(28)&=f(27)+f(22)=414+119=533, f(29)&=f(28)+f(23)=533+153=686, f(30)&=f(29)+f(24)=686+196=882

Resposta

Após 30 dias a população de bactérias é 882.

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