Mostre que |sen x-cos x| <= raiz2 para todo x.

Passo 1

A ideia é mostrar que lvertsin x - cos xrvert <= raiz2 para todo x. Vamos usar a identidade que reescreve uma combinação Asin x + Bcos x na forma Rsin(x-phi).

Passo 2

Aqui temos A=1 e B=-1, então calculamos
R = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2
Para encontrar o ângulo phi, escrevemos
sin x - cos x = Rl(sin xcosphi - cos xsinphir)
e igualamos coeficientes, obtendo
cosphi = 1raiz2, sinphi = 1raiz2,
de onde phi = pi/4. Logo
sin x - cos x = raiz2,sinl(x - pi4r)

Passo 3

Basta usar que lvertsin(theta)rvert <= 1 para todo theta. Assim
|sin x - cos x| = raiz2,l|sin(x - tfracpi4)r| <= raiz2cdot 1 = raiz2

Resposta

Para todo x, vale lvertsin x - cos xrvert <= raiz2.

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