Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 1-2 senn n^3

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty 1 - 2sin nn^3
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergente. O conteúdo envolve séries numéricas e o teste de convergência absoluta usando comparação com uma série -p.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos
sumn=1^infty |1 - 2sin nn^3| = sumn=1^infty |,1 - 2sin n,|n^3
Usamos a desigualdade triangular dentro do módulo:
|,1 - 2sin n,|<= |1| + |2sin n| = 1 + 2,|sin n|<= 1 + 2 = 3
Logo,
|,1 - 2sin n,|n^3 <= 3n^3

Passo 3

Sabemos que a série
sumn=1^infty 3n^3
é uma série- p com p=3>1, portanto converge. Pelo teste de comparação, como
0 <= |,1 - 2sin n,|n^3 <= 3n^3
e sum 3/n^3 converge, segue que
sumn=1^infty |,1 - 2sin n,|n^3
também converge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados