Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty ln nn^2+2

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série de termos positivos
sumn=1^infty ln nn^2 + 2
é convergente ou divergente.
Conteúdo: teste de comparação com séries p-séries e crescimento assintótico de ln n.

Passo 2

Observação chave: ln n cresce mais devagar que qualquer potência n^a com a>0. Em particular,
limntoinftyln nraizn=0,
logo existe N tal que para todo n>= N vale
ln n <= raizn

Passo 3

Para n>= N temos
0 ;<=;ln nn^2+2;<=;ln nn^2 ;<=;raiznn^2 ;=;1n^3/2

Passo 4

A série
sumn=1^infty1n^3/2
é uma p-série com p=tfrac32>1, portanto converge.

Passo 5

Como a série original tem termos não negativos e, a partir de algum índice, é majorada por uma série convergente, pelo teste da comparação direta concluímos que
sumn=1^inftyln nn^2+2
também converge.

Resposta

A série é convergente.

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