Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=2^+infty(-1)^n+1 1n(ln n)^2

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=2^+infty(-1)^n+1,1n(ln n)^2
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo envolvido é séries alternadas e teste de convergência absoluta. Para isso, vamos comparar a soma dos módulos
sumn=2^infty1n(ln n)^2
com uma integral, usando o teste da integral.

Passo 2

Considere a série de termos positivos
sumn=2^infty1n(ln n)^2
Para aplicar o teste da integral, analisamos a integral imprópria
integral2^infty1x(ln x)^2,dx
Fazendo a substituição u=ln x, temos du=1xdx, e os limites vão de u=ln2 até utoinfty. Assim,
integral2^infty1x(ln x)^2,dx =integralln2^infty1u^2,du =[-1u]ln2^infty =1ln2,
que é finito. Logo, pelo teste da integral,
sumn=2^infty1n(ln n)^2
converge. Isso significa que a série original converge absolutamente.

Passo 3

Como já mostramos que
sumn=2^inftyl|(-1)^n+11n(ln n)^2r|
converge, concluímos que a série dada é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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