Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo envolvido é séries alternadas e teste de convergência absoluta. Para isso, vamos comparar a soma dos módulos
com uma integral, usando o teste da integral.
O conteúdo envolvido é séries alternadas e teste de convergência absoluta. Para isso, vamos comparar a soma dos módulos
com uma integral, usando o teste da integral.
Passo 2
Considere a série de termos positivos
Para aplicar o teste da integral, analisamos a integral imprópria
Fazendo a substituição
, temos
, e os limites vão de
até
. Assim,
que é finito. Logo, pelo teste da integral,
converge. Isso significa que a série original converge absolutamente.
converge. Isso significa que a série original converge absolutamente.
Passo 3
Como já mostramos que
converge, concluímos que a série dada é absolutamente convergente.
converge, concluímos que a série dada é absolutamente convergente.
Resposta
A série é absolutamente convergente.