Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 3^nn !

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n+13^nn!
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergente. O conteúdo envolvido é séries infinitas, mais especificamente teste de convergência absoluta (usando, por exemplo, o critério da razão) e a relação entre convergência absoluta e convergência.

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, consideramos a série dos módulos dos termos:
sumn=1^infty|(-1)^n+13^nn!| = sumn=1^infty3^nn!
Aplicamos o teste da razão a an = tfrac3^nn!:
L = limntoinftyan+1an = limntoinfty3^n+1/(n+1)!3^n/n! = limntoinfty3n+1 = 0
Como L=0<1, a série sumn=1^infty3^n/n! converge.

Passo 3

Como a série dos módulos converge, a série original converge de forma absoluta. Pela definição, convergência absoluta implica convergência (e exclui convergência apenas condicional).

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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