Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente
sumn=1^infty n(23)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^inftynl(tfrac23r)^n
e pede para classificar sua convergência (absoluta, condicional ou divergente). Vamos usar o teste da razão aplicado à série de termos absolutos.

Passo 2

Definimos an=nl(tfrac23r)^n. Como tfrac23>0, temos lvert anrvert=an. Calculamos então
limntoinftyan+1an =limntoinfty(n+1)l(tfrac23r)^n+1nl(tfrac23r)^n =limntoinftyn+1ncdot23 =23

Passo 3

Como tfrac23<1, o teste da razão garante que
sumn=1^inftylvert anrvert
converge. Logo a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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