Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente
sumn=1^infty(-1)^n+1 1(2 n-1)!

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty(-1)^n+11(2n-1)!
e pede para classificá-la em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos primeiro verificar a convergência absoluta, pois se a soma dos valores absolutos convergir, a série original converge absolutamente.

Passo 2

Consideramos a série das magnitudes dos termos:
sumn=1^infty|(-1)^n+1(2n-1)!| =sumn=1^infty1(2n-1)!
Aplicamos o teste da razão. Seja an=1(2n-1)!. Então
an+1an =1(2(n+1)-1)!1(2n-1)! =(2n-1)!(2n+1)! =1(2n+1)(2n)
Fazendo ntoinfty,
limntoinftyan+1an =limntoinfty1(2n+1)(2n) =0<1
Portanto, pela convergência do teste da razão,
sumn=1^infty1(2n-1)!
converge.

Passo 3

Como a série das magnitudes dos termos converge, concluímos que a série original converge absolutamente. Isso automaticamente implica convergência (sem precisar do teste de alternância de Leibniz).

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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