Questão 9 - Encontre a solução para a equação diferencial

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
sec(t),dydt-e^y+sin(t)=0
e pede a solução geral. Isso é uma EDO separável, então vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão:
sec(t),dydt=e^y+sin t Longrightarrow dydt=e^y+sin tcos t

Passo 3

Separando as variáveis y e t:
dye^y=e^sin tcos t,dt,
pois tfrac1e^y=e^-y.

Passo 4

Integramos cada lado:
integral e^-y,dy=integral e^sin tcos t,dt
À esquerda integral e^-ydy=-e^-y. À direita reconhecemos ddte^sin t=e^sin tcos t, logo integral e^sin tcos t,dt=e^sin t. Assim
-,e^-y=e^sin t+C

Passo 5

Definindo A=-C, obtemos
e^-y=A-e^sin t
Aplicando o logaritmo natural:
-,y=lnl(A-e^sin tr) Longrightarrow y(t)=-lnl(A-e^sin tr)

Resposta

y(t)=-lnl(A-e^sin(t)r), onde A é a constante de integração.

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