Questão 7 - Resolva o seguinte problema de valor inicial (PVI):

Passo 1

O enunciado dá o PVI
cos(x),y' + sin(x),y = 2cos^3(x)sin(x) - 1, yl(tfracpi4r)=raiz2,
para 0<= x<tfracpi2.
É uma EDO linear de primeira ordem; vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão y'+P(x)y=Q(x) dividindo por cos(x):
y' + tan(x),y = 2cos^3(x)sin(x)cos(x) ;-;1cos(x) =2cos^2(x)sin(x);-;sec(x)

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=exp!l(integral tan(x),dxr) =expl(-lncos(x)r) =sec(x)

Passo 4

Multiplicando a equação-padrão por mu(x)=sec(x) obtemos
sec(x),y' + sec(x)tan(x),y =sec(x)l(2cos^2(x)sin(x)-sec(x)r)
O lado esquerdo é dfracddx[sec(x),y]. No direito:
sec(x)cdot2cos^2(x)sin(x) =2cos(x)sin(x)=sin(2x), sec(x)cdot(-sec(x))=-sec^2(x)
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ddx[sec(x),y] =sin(2x) - sec^2(x)

Passo 5

Integramos em x:
sec(x),y =integralsin(2x),dx ;-;integralsec^2(x),dx + C =-tfrac12cos(2x) - tan(x) + C

Passo 6

Usamos x=tfracpi4, y(tfracpi4)=raiz2:
sec!l(tfracpi4r),raiz2 = raiz2cdotraiz2 =2 =-tfrac12cos!l(tfracpi2r)-tan!l(tfracpi4r)+C =0-1+C,
portanto 2=-1+C e C=3.

Passo 7

A solução geral fica
sec(x),y = -tfrac12cos(2x)-tan(x)+3 Longrightarrow y = cos(x)l(-tfrac12cos(2x)-tan(x)+3r)
Expandindo e usando cos(2x)=2cos^2(x)-1:
y = -cos^3(x) + tfrac12cos(x) - sin(x) +3cos(x) = -cos^3(x) + tfrac72cos(x) - sin(x)

Resposta

y(x) = -cos^3(x) ;+;tfrac72cos(x);-;sin(x)

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