Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando
:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra resolver a EDO
com as condições iniciais
e ainda falar o que acontece quando
.
Isso é um problema de equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Pra resolver, a gente vai precisar:
Isso é um problema de equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Pra resolver, a gente vai precisar:
- montar a equação característica,
- achar a solução geral,
- derivar e aplicar as condições iniciais pra encontrar as constantes,
- estudar o limite quando
.
Passo 2
Primeiro a gente põe a EDO em forma “padrão”:
A teoria diz que, pra EDO linear homogênea com coeficientes constantes, a gente supõe
e obtém a equação característica trocando
:
Passo 3
Resolvendo
Como são duas raízes reais e distintas, a solução geral é
Passo 4
Agora vamos achar
e
usando as condições iniciais. Primeiro, derivada de
:
Em
isso vira o sistema
]
Passo 5
Multiplicando a segunda equação por 2, o sistema fica
Somando as duas linhas:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Então a solução vale
Pra ver o que rola quando
:
- O termo
cresce sem parar; - O termo
vai a zero; - Como o coeficiente de
é negativo, .
Resposta
$\displaystyle y(t) = -\frac{e}{2},e^{t/2} + \frac{3}{2e},e^{-t/2},\quad
ey(t)\to -\inftyquandot\to\infty,. $
ey(t)\to -\inftyquandot\to\infty,. $