Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando t infty :
l4 y prime prime-y=0 y(-2)=1 ; y^prime(-2)=-1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver a EDO
4,y'' - y = 0
com as condições iniciais
y(-2)=1, y'(-2)=-1
e ainda falar o que acontece quando ttoinfty.
Isso é um problema de equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Pra resolver, a gente vai precisar:
  1. montar a equação característica,
  2. achar a solução geral,
  3. derivar e aplicar as condições iniciais pra encontrar as constantes,
  4. estudar o limite quando ttoinfty.

Passo 2

Primeiro a gente põe a EDO em forma “padrão”:
y'' - tfrac14,y = 0,
A teoria diz que, pra EDO linear homogênea com coeficientes constantes, a gente supõe
y=e^r t
e obtém a equação característica trocando yto e^rt:
r^2 - tfrac14 = 0,

Passo 3

Resolvendo
r^2 - tfrac14 = 0 Longrightarrow r = pm tfrac12,
Como são duas raízes reais e distintas, a solução geral é
y(t) = C1 e^t/2 + C2 e^-t/2,

Passo 4

Agora vamos achar C1 e C2 usando as condições iniciais. Primeiro, derivada de y(t):
y'(t) = tfrac12,C1 e^t/2 ;-;tfrac12,C2 e^-t/2,
Em t=-2 isso vira o sistema
y(-2)=C1 e^-1+C2 e^1=1,[6pt] y'(-2)=tfrac12,C1 e^-1-tfrac12,C2 e^1=-1
]

Passo 5

Multiplicando a segunda equação por 2, o sistema fica
C1 e^-1 + C2 e^1 = 1, C1 e^-1 - C2 e^1 = -2
Somando as duas linhas:
2,C1 e^-1 = -1 Longrightarrow C1 = -e2,
Substituindo C1 na primeira equação:
-tfrace2,e^-1 + C2 e = 1 ;Longrightarrow; -tfrac12 + C2 e = 1 ;Longrightarrow; C2 e = tfrac32 ;Longrightarrow; C2 = 32e,

Passo 6

Então a solução vale
y(t) = -e2,e^t/2 ;+; 32e,e^-t/2
Pra ver o que rola quando ttoinfty:
  • O termo e^t/2 cresce sem parar;
  • O termo e^-t/2 vai a zero;
  • Como o coeficiente de e^t/2 é negativo, y(t)to -infty,.

Resposta

$\displaystyle y(t) = -\frac{e}{2},e^{t/2} + \frac{3}{2e},e^{-t/2},\quad
ey(t)\to -\inftyquandot\to\infty,. $

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