Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
5.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{2}}{n!}
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e provar a resposta.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
A série tem termo geral \dfrac{n^{2}}{n!}.
A soma é indexada por n=1,2,3,\dots até o infinito.
Os termos são não negativos para todo n (pois n^{2}\ge0 e n!>0).
O que é pedido:
Classificar a série em uma das três categorias: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando a escolha.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o significado das classificações (explicação didática):
Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos \sum |a_n| converge. Em outras palavras, tomar os módulos dos termos não impede a convergência.
Uma série é condicionalmente convergente se \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge.
Se \sum a_n não converge, dizemos que a série é divergente.
Observação prática importante: quando todos os termos a_n são não negativos (como é o caso aqui), a série com termos positivos converge se, e somente se, ela é absolutamente convergente — porque |a_n|=a_n. Logo, basta mostrar que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{2}}{n!} converge (ou aplicar um teste que garanta convergência para séries de termos positivos).
Passo 3
Escolha do método: vamos usar o teste da razão (d’Alembert), que é muito eficaz com fatoriais. Vou explicar o teste da razão de forma bem prática:
Para uma série \sum a_n (com a_n\neq0), calcula-se
O motivo intuitivo: se os termos sucessivos diminuem multiplicados por um fator assintoticamente menor que 1, a série se comporta como uma série geométrica convergente.
Passo 4
Aplicando o teste da razão à nossa série. O termo geral é a_n=\dfrac{n^{2}}{n!}. Calculamos