Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
5.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{2}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e provar a resposta.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • A série tem termo geral \dfrac{n^{2}}{n!}.
  • A soma é indexada por n=1,2,3,\dots até o infinito.
  • Os termos são não negativos para todo n (pois n^{2}\ge0 e n!>0).
O que é pedido:
  • Classificar a série em uma das três categorias: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando a escolha.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o significado das classificações (explicação didática):
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos \sum |a_n| converge. Em outras palavras, tomar os módulos dos termos não impede a convergência.
  • Uma série é condicionalmente convergente se \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge.
  • Se \sum a_n não converge, dizemos que a série é divergente.
Observação prática importante: quando todos os termos a_n são não negativos (como é o caso aqui), a série com termos positivos converge se, e somente se, ela é absolutamente convergente — porque |a_n|=a_n. Logo, basta mostrar que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{2}}{n!} converge (ou aplicar um teste que garanta convergência para séries de termos positivos).

Passo 3

Escolha do método: vamos usar o teste da razão (d’Alembert), que é muito eficaz com fatoriais. Vou explicar o teste da razão de forma bem prática:
  • Para uma série \sum a_n (com a_n\neq0), calcula-se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
O motivo intuitivo: se os termos sucessivos diminuem multiplicados por um fator assintoticamente menor que 1, a série se comporta como uma série geométrica convergente.

Passo 4

Aplicando o teste da razão à nossa série. O termo geral é a_n=\dfrac{n^{2}}{n!}. Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^{2}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^{2}}{n!}} = \frac{(n+1)^{2}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^{2}}.
Agora simplificamos usando \dfrac{n!}{(n+1)!}=\dfrac{1}{n+1}:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{1}{n+1} = \frac{(n+1)^{2}}{n^{2}(n+1)} = \frac{n+1}{n^{2}}.
Escrevendo de outra forma,
\frac{n+1}{n^{2}}=\frac{n}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)=0.
Como L=0<1, pelo teste da razão a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{2}}{n!} converge absolutamente.

Passo 5

Comentário extra (útil para a prova): além de classificar, podemos calcular a soma exata da série para reforçar a intuição. Observe que, para n\ge2,
n^{2}=n(n-1)+n.
Assim,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n(n-1)}{n!}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n!}.
Para n\ge2 vale \dfrac{n(n-1)}{n!}=\dfrac{1}{(n-2)!}. Reindexando com k=n-2 obtemos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n(n-1)}{n!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=e.
Para o outro somatório, para n\ge1 tem-se \dfrac{n}{n!}=\dfrac{1}{(n-1)!}. Reindexando com j=n-1
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n!}=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}=e.
Somando as duas partes:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n!}=e+e=2e.
Isso confirma a convergência e ainda fornece o valor da soma.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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