Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
7.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n} \frac{n!}{2^{n+1}}

Passo 1

O enunciado dá a série alternada
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{n!}{2^{n+1}}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas que vamos usar:
  • O termo geral da série é a_n = (-1)^{n}\dfrac{n!}{2^{n+1}}.
  • Para analisar convergência absoluta consideramos a série de termos positivos \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n!}{2^{n+1}}.
  • Para analisar convergência (condicional) da série alternada, é necessário verificar se a_n\to0 e/ou usar testes apropriados.

Passo 2

Definições e teste que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| diverge, a série pode ainda convergir condicionalmente ou divergir; para decidir isso inspecciona-se a série original.
  • Um teste prático para séries com termos positivos é o teste da razão (d’Alembert): para uma série com termos positivos b_n, se o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}
existe e L<1, então \sum b_n converge absolutamente; se L>1 então \sum b_n diverge. Se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Uma condição necessária (mas não suficiente) para que uma série \sum a_n converja é que os termos vão a zero: \lim_{n\to\infty} a_n=0. Se \lim a_n\neq0 a série diverge imediatamente (teste do termo geral).

Passo 3

Aplicamos essas ideias à série absoluta. Defina
b_n = |a_n| = \frac{n!}{2^{n+1}}.
Vamos calcular a razão b_{n+1}/b_n:
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\dfrac{(n+1)!}{2^{\,n+2}}}{\dfrac{n!}{2^{\,n+1}}} =\frac{(n+1)!}{n!}\cdot\frac{2^{\,n+1}}{2^{\,n+2}} =\frac{n+1}{2}.

Passo 4

Agora tomamos o limite dessa razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2}=+\infty.
Como esse limite é >1 (na verdade diverge para +\infty), pelo teste da razão concluímos que a série de termos positivos \sum b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n!}{2^{n+1}} diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente.

Passo 5

Além disso, para ver que a série original não converge nem mesmo condicionalmente, basta verificar a condição necessária de convergência: os termos devem tender a zero. Olhemos o comportamento de b_n. A razão b_{n+1}/b_n=(n+1)/2 é maior que 1 para todo n\ge1, e para n\ge3 tem (n+1)/2\ge2. Assim, para n\ge3
b_{n+1}\ge 2\,b_n,
o que implica, iterando, que para n\ge3
b_n \ge 2^{\,n-3} b_3.
Como b_3=\dfrac{3!}{2^{4}}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}>0, o fator 2^{\,n-3} tende a +\infty quando n\to\infty. Portanto b_n\to+\infty quando n\to\infty. Em particular b_n\nrightarrow0, e então a_n (que só difere de b_n por um sinal alternado) também não tende a zero:
\lim_{n\to\infty} a_n \text{ não existe (em módulo tende a }+\infty\text{)}.ãó
Pelo teste do termo geral, como a_n\not\to0, a série \sum a_n diverge.

Passo 6

Síntese final do raciocínio:
  • A série de valores absolutos diverge pelo teste da razão (razão tende a +\infty>1), então não há convergência absoluta.
  • Os termos a_n não tendem a zero (os módulos crescem sem limite), logo a série não pode convergir (nem condicionalmente).
  • Conclusão: a série é divergente.

Resposta

Divergente (não é absolutamente nem condicionalmente convergente).

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