Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
7.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n} \frac{n!}{2^{n+1}}
7.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n} \frac{n!}{2^{n+1}}
Passo 1
O enunciado dá a série alternada
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- O termo geral da série é
. - Para analisar convergência absoluta consideramos a série de termos positivos
. - Para analisar convergência (condicional) da série alternada, é necessário verificar se
e/ou usar testes apropriados.
Passo 2
Definições e teste que vamos usar (explicados de forma simples):
- Uma série
é absolutamente convergente se converge. Se diverge, a série pode ainda convergir condicionalmente ou divergir; para decidir isso inspecciona-se a série original. - Um teste prático para séries com termos positivos é o teste da razão (d’Alembert): para uma série com termos positivos
, se o limite
existe e
, então
converge absolutamente; se
então
diverge. Se
o teste é inconclusivo.
- Uma condição necessária (mas não suficiente) para que uma série
converja é que os termos vão a zero: . Se a série diverge imediatamente (teste do termo geral).
Passo 3
Aplicamos essas ideias à série absoluta. Defina
Vamos calcular a razão
:
Passo 4
Agora tomamos o limite dessa razão quando
:
Como esse limite é
(na verdade diverge para
), pelo teste da razão concluímos que a série de termos positivos
diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente.
Passo 5
Além disso, para ver que a série original não converge nem mesmo condicionalmente, basta verificar a condição necessária de convergência: os termos devem tender a zero. Olhemos o comportamento de
. A razão
é maior que
para todo
, e para
tem
. Assim, para
o que implica, iterando, que para
Como
, o fator
tende a
quando
. Portanto
quando
. Em particular
, e então
(que só difere de
por um sinal alternado) também não tende a zero:
Pelo teste do termo geral, como
, a série
diverge.
Passo 6
Síntese final do raciocínio:
- A série de valores absolutos diverge pelo teste da razão (razão tende a
), então não há convergência absoluta. - Os termos
não tendem a zero (os módulos crescem sem limite), logo a série não pode convergir (nem condicionalmente). - Conclusão: a série é divergente.
Resposta
Divergente (não é absolutamente nem condicionalmente convergente).